La structure fondamentale
Une équation différentielle linéaire d'ordre deux relie une fonction inconnue $y(x)$ à ses dérivées première et seconde. Le terme « linéaire » signifie que chaque occurrence de $y$, $y'$ et $y''$ apparaît uniquement à la puissance première.
où $P(x)$, $Q(x)$, $R(x)$ et $G(x)$ sont des fonctions continues sur un intervalle spécifique.
Classification des équations
- Équations homogènes : Si $G(x) = 0$ pour tout $x$ dans l'intervalle, l'équation est appelée homogène. Ces équations modélisent les systèmes en vibration libre ou en équilibre.
Formule clé : $P(x)\frac{d^2y}{dx^2} + Q(x)\frac{dy}{dx} + R(x)y = 0$
- Équations non homogènes : Si $G(x) \neq 0$, l'équation est non homogène. La fonction $G(x)$ représente une force externe (comme heurter un trou).
Le principe de superposition
L'un des outils les plus puissants de la théorie linéaire est la capacité à construire des solutions complexes à partir de solutions plus simples.
Si $y_1(x)$ et $y_2(x)$ sont toutes deux solutions de l'équation linéaire homogène et $c_1$, $c_2$ sont des constantes quelconques, alors la combinaison linéaire :
$y(x) = c_1y_1(x) + c_2y_2(x)$
est également une solution.
Trouver la solution générale
Pour capturer toutes les solutions possibles d'une équation homogène, nous devons nous assurer que nos deux solutions de base sont linéairement indépendantes. Cela signifie qu'aucune n'est un multiple constant de l'autre (par exemple, $e^x$ et $e^{2x}$ sont indépendantes, tandis que $e^x$ et $2e^x$ ne le sont pas).